毕达哥拉斯说：数统治宇宙。

高斯说：数学是科学的女王。

    整数是数学的基础，而数论就是研究整数性质的学问。整数都能分解成素数的乘积，所以素数分布是数论的核心问题。

    素数是离散的，其出现并无明显规律。解析方法是研究素数分布的最有力工具，所以有了解析数论这门学问。

在潘承洞先生诞辰90周年纪念大会
暨数学发展论坛上
潘承洞先生的弟子
中国解析数论学派
新一代代表人物
刘建亚教授作报告
讲述了恩师在研究领域
取得的卓越成就
为党和国家培养
大批优秀数学人才的育人事迹
以及山大解析数论
在潘承洞精神影响下的
传承与发展

01 最小素数与几个发展

    素数分布

    数论是研究整数性质的学问，而整数都可以分解成素数的乘积，因此素数分布是数论的核心问题。

    欧几里得定理（《几何原本》约公元前 300 年）：自然数中有无穷多素数。

欧几里得

等差数列中的素数

    Dirichlet 定理（1837）：
 

    若一个等差数列 

a,a+q,a+2q,a+3q,…

    的公差q与首项a互素，则这个等差数列中有无穷多个素数。

    这是欧几里得定理在等差数列中的深刻推广，其重要历史意义一直延续至今。

Dirichlet

    上述等差数列中最小的那个素数p？如何用q来衡量，是一个重要的科学问题。

    假设广义黎曼猜想，有p？？q2+ε.

    然而若直接利用等差数列中的素数定理，无法用q的多项式控制p？的上界。

Riemann

    数论世界 登堂入室
 

    20世纪50年代是近代解析数论的一个重要发展时期。
 

    闵嗣鹤极有远见地为潘承洞确定了研究方向：L-函数的零点分布及其在数论问题中的应用。

闵嗣鹤

潘承洞

学术成就一：最小素数

    Linnik 定理（1944）：

    存在一个绝对常数L，使得上述等差数列中的最小的那个素数p？满足

p？？ qL

    这里的L是个定性的绝对常数，非常大，而且不知道其可允许的数值。

    这是对黎曼猜想的一大贡献

Linnik

    潘承洞定理（1957）：

    Linnik常数L满足   L≤10000.

    这个惊世之作是潘承洞在本科期间，在闵嗣鹤先生指导下完成的，潘承洞时年23岁。

    这是关于Linnik常数的第一个定量结果。

    这项工作非常重要，Linnik亲自为此写了长篇评论。

几个发展

    此后对Linnik常数的改进，都是在潘承洞这一框架下得到的，后续研究者，包括陈景润和Heath-Brown等数学大家。

    时至如今，Linnik 常数仍是研究热点。

    2023 年，邵逸夫奖得主Iwaniec给出了证明L≤75744000的新方法。

02 哥德巴赫猜想

    哥德巴赫猜想是哥德巴赫在1742年给欧拉的信中提出来的。

    此后100多年的时间里，哥德巴赫猜想的研究没有本质的进展。

    1900年希尔伯特将哥德巴赫猜想列入其23个数学问题。

Euler

Hilbert

    一个好的猜想要满足三个条件：

    一是美；

    二是难；

    三是与数学的其他分支有广泛的联系。

    哥德巴赫猜想就满足这三个条件。

    哥德巴赫猜想研究在1920年以后开始取得突破：

    英国学派Hardy与Littlewood；苏联学派Vinogradov, Linnik

    勇攀高峰 摘取明珠
 

    华罗庚：“我并不是要你们在这个问题上做出成果来，我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系......”

    数论中国学派（the Chinese School）诞生

华罗庚和他的学生们（左一为潘承洞）
 

学术成就二：哥德巴赫猜想

    Rényi 定理（1948）：

    对某个 θ>0 成立，从而推出了哥德巴赫猜想中的命题（1+C）。这个C是个定性的结果，不知道其具体可允许的值。

    这仍然是素数在等差数列中分布问题，这里的 θ 称为分布的阶，至关重要。大体上说，C ∝ 1/θ .

    潘承洞（1962）：θ=1/3 成立，从而得到（1+5）。这是首个定量结果。

    潘承洞（1962/1963）：θ＝3/8 成立，并推出（1+4）。

    目前，最强的结果是陈景润（1966/1973）的（1+2）。

    对应于张益唐关于孪生素数猜想的定理，在哥德巴赫猜想中并未得到证明。

03 学术传承

在任教的30多年中

潘承洞为本科生、研究生

开设了10多门课程

指导并培养了13 名博士研究生

20 名硕士研究生

潘承洞与学生们在一起

潘承洞与展涛、刘建亚等学生在一起

21世纪的（解析）数论

    数论始终是一个试验场，任何数学工具都可以用来解决数论问题。尤其是进入21世纪以来，分析、代数、几何、组合等各数学分支，在此高度交叉融合。数论各分支之间也越来越交叉融合。

    仅就分析工具来说，已经从原先的实分析、复分析扩展为李群上的调和分析、自守表示、Langlands 纲领等现代工具。

    关于素数分布，Sarnak 提出了一个纲领性猜想，预言了素数在群作用的轨道上的分布规律，这个猜想相当于高维高次的哥德巴赫猜想，包含了历史上有关素数的几乎所有重要猜想。Sarnak因为与此猜想有关的工作，获得2024年邵逸夫奖。

群作用的一个轨道的示意图

    在以上大背景下，山大数论正在做出积极的贡献。例如，2011年前后，刘建亚证明了Sarnak猜想对10个变量的二次型方程成立；刘建亚与Sarnak合作，证明了该猜想在三元二次型的情形对殆素数成立。2021-2023年，刘建亚更与合作者证明了Sarnak猜想在高维高次的情形下也成立。

在介绍结尾时

刘建亚引用师兄展涛的话

以表达潘氏弟子对潘先生的敬仰

在报告的最后
刘建亚引用山东大学
任友群书记、李术才校长
在《潘承洞影印文集》序言中的话
作为结语
“潘承洞先生是
勇攀高峰的科学家典范
奖掖后学的大先生典范
追求卓越的教育家典范
我们敬仰潘先生、怀念潘先生
学习潘先生…”

光前裕后，继往开来
我们深切缅怀潘承洞先生
为我国数学和教育事业作出的卓越贡献
追思和学习他的崇高品格和精神风范
大力弘扬教育家精神、科学家精神
为服务中国式现代化贡献山大力量！
 

素材来源 | 山东大学数学学院

编辑 | 齐月菡

责任编辑 | 蒲帅

审核 | 林竹 冯刚